را آزمون می­کنیم.( Muirhead, 2005, p.291 )
فضای پارامتری تحت فرض صفر و در حالت کلی عبارت است از:
تابع درستنمایی عبارت است از:
بنابراین برآورد ماکزیمم درستنمایی و به صورت زیر می­باشد:

در نتیجه
اگر باشد، آنگاه
بنابراین برآورد ماکزیمم درستنمایی و تحت فرض صفر به صورت زیر می­باشد:
بنابراین
در نتیجه آماره آزمون عبارت است از:
بنابراین براساس آزمون نسبت درستنمایی فرض برابری ماتریس­های کوواریانس رد می­ شود اگر:
و یا به صورت معادل
قضیه ۲-۲-۱: برای آزمون در مقابل ، آزمون نسبت درستنمایی با ناحیه بحرانی بفرم اریب است. (یک آزمون اریب است اگر توان آزمون کمتر از خطای نوع اولش باشد.)
اثبات: به منظور اثبات قضیه فوق فرض کنید و باشد به گونه ­ای که یک ماتریس قطری است. در حالت خاص فرض کنید ماتریس به صورت باشد. همچنین ماتریس­های و را به صورت و در نظر بگیرید. در این صورت
و
.
بنابراین آماره را می­توان به صورت زیر نوشت:
به گونه ­ای که است. در این صورت متغیر تصادفی از فاکتور اول در آماره مستقل است و توزیعش به بستگی ندارد.زیرا به عنوان مثال فرض کنید و باشند. در این صورت است و طبق قضیه ۴ پیوست
و همچنین از نیز مستقل است.
متغیر تصادفی را به صورت در نظر بگیرید. در این صورت توزیع با درجات آزادی و است. همچنین فاکتور اول آماره را می­توان به صورت نوشت. بنابراین براساس لم ۱ پیوست، یک عدد ثابت وجود دارد بطوریکه
به دلیل کاستی آزمون نسبت درستنمایی بیان شده، بارتلت ( Bartlett ) در سال ۱۹۳۷ آماره آزمون اصلاح شده را به صورت زیر پیشنهاد داد. این آماره برای حالت عبارت است از:
و یا
قضیه ۲-۲-۲: برای آزمون در مقابل آزمون نسبت درستنمایی اصلاح شده با ناحیه بحرانی بفرم نااریب است. (اثبات: Muirhead, 2005, p.299)

۲-۲-۱- توزیع مجانبی آماره

در این قسمت توزیع مجانبی آماره ، زمانیکه اندازه نمونه بزرگ است را به دست می­آوریم. بدین منظور فرض کنید
باشد به گونه ­ای که است. همان طور که از قبل می­دانیم، تحت فرض صفر(برابری ماتریس­های کوواریانس)، برای اندازه نمونه بزرگ، دارای توزیع کای اسکور با درجه آزادی برابر با تفاضل تعداد پارامترهای مستقل در فضای پارامتری و تعداد پارامترهای مستقل تحت فرض صفر، دارد. یعنی درجه آزادی برابر است با:
حال در این قسمت تعدیلی از آماره قبل یعنی را در نظر می­گیریم و را در ادامه معرفی می­کنیم. برای بیان توزیع مجانبی، ابتدا حالت کلی را بررسی می­کنیم و سپس حالت خاص یعنی توزیع مجانبی را مورد مطالعه قرار می­دهیم. ( Muirhead, 2005, p.303 )
متغیر تصادفی با گشتاورهایی بفرم زیر را در نظر بگیرید:
(۲-۲-۱)
جاییکه
(۲-۲-۲)
و یک عدد ثابت است به گونه ­ای که است. با توجه به رابطه (۲-۲-۱) تابع مشخصه زمانیکه است برابر است با
فرض کنید
(۲-۲-۳)
باشد. تابع مولد انباشتک (Cumulant generating function) عبارت است از:
(۲-۲-۴)
به گونه ­ای که
و است. حال بسط تابع لگاریتم گاما را به صورت زیر در نظر بگیرید:
(۲-۲-۵)
در رابطه ( ۲-۲-۵ )، چند جمله­ای برنولی از درجه است که به صورت ضریب در بسط تعریف می­ شود. یعنی
(۲-۲-۶)
بنابراین با بهره گرفتن از روابط گفته شده، به صورت زیر نوشته می­ شود:
(۲-۲-۷)
جاییکه
(۲-۲-۸)
و