پیش‌بینی‌های  و  با بهره گرفتن از فیلتر کالمن، بهترین پیش‌بینی در بین تمام مجموعه پیش‌بینی‌های خطی در  می باشد، که در آن  . اگر حالت اولیه،  ، و بردارهای نوفه سفید  ، چند متغیره نرمال باشند آنگاه این پیش‌بینی‌ها در بین هر ترکیبی از  بهترین می‌باشد؛ همچنین توزیع  به شرط  نرمال و بصورت ذیل است:

یعنی:

از رابطه بالا بسادگی تابع لگاریتم راستنمایی را بدست می‌آوریم:

سپس پارامترهای مجهول در ماتریسهای  و  را از حداکثر سازی این تابع با روش های عددی بدست می‌آوریم.
فصل ۵- تخمین و نتیجه‌گیری
تخمین مدل
بطور تجربی معادله (۳-۳-۶) با بهره گرفتن از نرم افزار  با بکارگیری روش برآورد حداکثرراستنمایی برآورد می‌گردد.
معادلات (۳-۳-۱)، (۳-۳-۲)، (۳-۳-۳) و (۳-۳-۵) با هم تشکیل یک سیستم پویا را می‌دهند. این سیستم پویا را به شکل حالت-فضا می‌نویسیم. ارائه یک سیستم پویا به شکل حالت-فضا این امکان را فراهم می‌کند تا با کمک فیلتر کالمن و بکارگیری روش حداکثرراستنمایی، ابرپارامترهای یاد شده و ضرایب معادلات را برآورد کنیم.
نمودار (۵-۱) نشان می‌دهد که مصرف سرانه^[۱۳۵] گاز طبیعی تقریباً یک روند نزولی است که دارای شیب بسیار ملایم است و هم چنین از نمودار (۵-۲) لگاریتم طبیعی مصرف کل معلوم است که مصرف کل با شیب مثبت و صعودی است. صعودی بودن مصرف کل بدلیل گسترش سیستم گاز رسانی بوده امّا نزولی بودن مصرف سرانه ممکن است به دلایل مختلفی باشد، از جمله:
تغییر در سلیقه مصرف کنندگان در جهت مصرف سایر انرژیها بجای گاز: امّا با توجّه به شواهد و نمودار سهم مصرف گاز در تأمین انرژی بخشهای مذکور، این دلیل را تایید نمی‌کند؛ اگر چه نمودار (۵-۲)، لگاریتم طبیعی کل مصرف انرژی بخش خانگی و تجاری را با روند صعودی طی زمان نشان می‌دهد ولی نمودار (۱-۳) سهم حامل انرژی گاز طبیعی در تأمین انرژی بخشهای مذکور نیز روند صعودی دارد و نشان دهنده تغییر رفتار مصرف کننده در جهت افزایش مصرف گاز طبیعی است.

بهبود تکنولوژی و کارایی مصرف انرژی، تغییر در فرهنگ مصرف که در نتیجه تبلیغات صرفه جویی در مصرف رخ می‌دهد، تغییر در ساختار اقتصادی که باید این را آزمون کنیم.
تغییر در روندهای دموگرافیگ زیست محیطی (مانند گاز رسانی به استانهایی که از نظر شرایط آب و هوایی گرم و معتدل به حساب می‌آیند.): این حدس را باید اینگونه بررسی کنیم که ببینیم آیا شهرهای جدید گاز رسانی شده جز مناطق گرمسیر محسوب می‌شوند یا نه. از آنجا که مراکز جمعیتی کشور غرب و مرکز کشور است، به نظر می‌رسد که تغییر روندهای دموگرافیک در جهت افزایش مصرف گاز صورت گیرد.
عوامل اقتصادی مثل افزایش قیمت و درآمد که منجر به مصرف کارا می‌شود: برای مثال با افزایش درآمد ممکن است خانوارها بخاریها، اجاق گازها و آبگرمکن‌هایی که حامل انرژی کمتری می‌سوزانند‌، بکارگیرند.

نمودار (۵-۳) نسبت قیمت اسمی حامل انرژی گاز به قیمت اسمی حامل انرژی برق به عنوان یک حامل انرژی جایگزین نشان می‌دهد که این نسبت طی زمان روند صعودی دارد؛ احتمالا با گران شدن گاز، خانوارها مصرف خود را به سمت مصرف بهینه تغییر می‌دهند و در نتیجه روند مصرف سرانه گاز، شکلی تقریباً نزولی با شیب بسیار ناچیز از خود نشان می‌دهد.

سایر عوامل دیگر نظیر افزایش دمای کشور طی سالهای مختلف در تمام فصلها و یا فصلهای که نیاز به گرمسازی است، اگر چه این عوامل در بعضی وقتها حتی قابل تصور نیز نمی‌باشند.
در نظر بگیرید که اگر دمای فصلهای زمستان و پاییز به نسبت سالهای قبل، هر ساله افزایش یابد مصرف سرانه، با ثابت بودن سایر شرایط، کاهش می‌یابد. این پدیده به نوعی توصیفی از همان مؤلفه فصلی تصادفی در مدل می‌باشد. یا برای مثال در نظر بگیرید که چرخش ماه های قمری در جهتی باشد که تعطیلات مذهبی و رسمی در ماه های گرم سال اتفاق بیافتد و موجب کاهش مصرف حامل انرژی گاز طبیعی شود. البته نوسانی بودن مصرف سرانه بخاطر تغییرات فصلی ناشی از نوسانات دما و شرایط آب و هوایی می‌باشد.
برای رسیدن به یک مدل مناسب تقاضا، به ترتیب حالتهای مختلف مربوط به شکل روند جدول (۳-۲) را تخمین زده‌ و مدل مناسب را با توجه به یکسری محدودیتهای لازم در برآورد ضرایب انتخاب می‌کنیم. علاوه بر این بعضی آزمونهای لازم را در تایید و مقبولیّت مدل انتخابی انجام داده‌ایم. جدول (۵-۱) خلاصه تخمین تابع تقاضای مصرف گاز طبیعی در بخش خانگی و تجاری ایران را با توجه به مدل انتخابی بیان می‌کند.
مدل فصلی تصادفی بدون سطح روند و شیب روند، حالت (i) جدول (۳-۲)، مدل مورد تایید و مقبول در تخمین تقاضا است؛ چون در دیگر حالتها ضرایب معنی‌داری در تخمین تقاضا مشاهده نمی‌شود. برای تایید این موضوع، تخمین ضرایب تقاضا در حالتهای زیر به عنوان مثال در جدول (۵-۲) آورده‌ شده است.^[۱۳۶]
مؤلفه روند تصادفی و مؤلفه فصلی تصادفی
مؤلفه روند تصادفی و مؤلفه فصلی قطعی
مؤلفه روند قطعی و مؤلفه فصلی تصادفی
مؤلفه روند و مؤلفه فصلی قطعی
بدون مؤلفه روند و مؤلفه فصلی تصادفی