(۵-۷)

(۵-۸)

(۵-۹)

که ، و به ترتیب داده مشاهده شده، داده پیش‌بینی شده و میانگین داده مشاهده شده و N طول داده مشاهده شده است.
۵-۴: نتیجه‌گیری
در این پژوهش با توجه به مؤلفه‌های خطی و غیرخطی سری زمانی، روشی ترکیبی را پیشنهاد کردیم که با در نظر گرفتن هر دو مؤلفه، پیش‌بینی سری‌های زمانی آشوب را انجام دهد.
ابتدا نقاط فضای‌حالت سری‌زمانی آشوبی اولیه را به یک پیش‌بینی کننده خطی دادیم تا بتواند مقادیر خطی سری زمانی را پیش‌بینی کند. سپس با بهره گرفتن از خروجی این پیش‌بینی کننده و مقادیر واقعی، مقدار خطا را محاسبه کردیم. این مقادیر را به عنوان یک سری زمانی آشوبی جدید در نظر گرفته و آن را در فضای‌حالت مناسب جاسازی کردیم. نقاط فضای‌حالت جدید را به یک پیش‌بینی کننده غیرخطی دادیم. این پیش‌بینی کننده به خوبی قابلیت پیش‌بینی مقادیر غیرخطی باقیمانده از سری زمانی را دارد. در نهایت مقادیر حاصل از خروجی دو پیش‌بینی کننده را با هم جمع کردیم و در قیاس با مقادیر واقعی قرار داده‌ایم.
مدل پیش‌بینی ترکیبی ارائه شده کارایی خوب و پیش‌بینی دقیق‌تری نسبت به روش‌های پیش‌بینی سری‌های زمانی آشوبی را دارد. در فصل آینده با ارائه آزمایشات روی سری‌های زمانی آشوبی مختلف، می‌توانید صحت این ادعا را مشاهده کنید.
فصل ششم
۶فصل ششم نتایج شبیه‌سازی و ارزیابی روش پیشنهادی
به منظور ارزیابی روش پیشنهاد شده، روش توسعه داده شده روی سری‌های‌زمانی آشوبی مصنوعی مکی‌گلاس و لورنز و همچنین سری‌زمانی آشوبی زمان واقعی، لکه‌های خورشیدی^* اجرا شده است. سپس کارایی روش پیشنهاد شده با نتایج ارائه شده در سایر پژوهش‌ها مقایسه شده است.
۶-۱: سری‌زمانی آشوبی مکی‌گلاس
در فصل‌های گذشته در مورد معادله دیفرانسیل ایجاد کننده سری‌زمانی مکی‌گلاس توضیح داده شد. برای آزمودن مدل پیشنهادی، یک مجموعه نمونه سری‌زمانی آشوبی با طول ۱۰۰۰ داده تولید شده توسط معادله مذکور استفاده شده است. داده درمحدوده زمان در شکل ۶-۱ نشان داده شده است. ۵۰۰ نمونه اول برای آموزش و ۵۰۰ نمونه بعدی برای تست انتخاب شده‌اند. داده مورد نظر در بازه [۰,۱] نرمال می‌شود.

پارامترهای فضای حالت با مقادیر D=3برای بُعد جاسازی و T=2برای زمان تاخیر تعیین شده و نقاط فضای‌فاز طبق آنچه در بخش‌های گذشته بیان شد، جاسازی شده‌اند. نقاط جاسازی شده سری‌زمانی را می‌توانید در شکل ۶-۲ مشاهده کنید. نقاط بدست آمده به لایه عصبی خطی با D واحد ورودی داده شده است. مقادیر پیش‌بینی شده با مقدار داده واقعی مقایسه شده و خطا‌ها محاسبه شده اند.
خطا بدست آمده، یک سری‌زمانی با طول است که در اینجا با توجه به مقادیر N=500، T=2 و D=3 برابر ۴۹۵ است. با توجه به ویژگی‌های خطا‌ در به ارث بردن خصوصیات سری‌زمانی اصلی و به منظور استفاده از سهم خطا‌ در بهبود نتایج پیش‌بینی، ۴۹۵ نمونه خطا با بُعد تعبیهD₁=3 و زمان تاخیر T₁=2 در فضای حالت جاسازی شده اند.
نقاط فضای حالت خطا‌ها به یک شبکه عصبی بازگشتی المان با ۱۰ نرون در لایه پنهان داده می‌شود. لازم به یادآوری است که الگوریتم آموزشی این شبکه عصبی الگوریتم بهینه‌سازی جمعیت ذرات می‌باشد. پارامترهای ضروری برای الگوریتم PSO، انتخاب تعداد جمعیت اولیه برابر۴۰۰، مقدار وزن‌های داخلی تصادفی، تعداد گام‌های تکرار ۳۰ و c1=c2=2، می‌باشد.
پس از کامل شدن آموزش، خروجی حاصل از شبکه عصبی المان با مقادیر پیش‌بینی بدست آمده از مرحله قبل جمع می‌شوند. حاصل جمع بدست آمده با مقادیر سری‌زمانی اصلی مقایسه شده است و ارزیابی توسط معیارهای خطای تعریف شده، صورت گرفته است.
در شکل ۶-۳ مقادیر واقعی سری‌زمانی مکی گلاس را با مقادیر پیش‌بینی شده‌ی مقایسه می‌کند. شاخص‌های خطای مجذور میانگین، خطای مجذور میانگین ریشه و خطای مجذور میانگین ریشه نرمال برای ارزیابی انتخاب شده‌اند. شما می‌توانید محاسبه خطای برای هر یک از پیش‌بینی کننده‌ها را براساس این معیارها در جدول ۶-۱ مشاهده کنید.
در ادامه دیگر مدل‌های پیش‌بینی مشابه روش مذکور را که برای داده‌ی سری‌زمانی آشوبی مکی‌گلاس بررسی و آزمایش کرده‌ایم با مدل پیش‌بینی معرفی شده، مقایسه می‌کنیم. در اولین مدل پیش‌بینی، از شبکه عصبی انطباق‌پذیر خطی (ADALINE) به عنوان پیش‌بینی کننده خطی است و از شبکه‌عصبی المان با ۱۰نرون در لایه پنهان که االگوریتم traingdm را برای آموزش آن انتخاب کرده‌ایم، به عنوان پیش‌بینی کننده غیرخطی استفاده کرده‌ایم. دومین مدل پیش‌بینی استفاده از شبکه عصبی خطی انطباق‌پذیر خطی به عنوان مدل پیش‌بینی کننده خطی و شبکه عصبی المان با پارامترها و الگوریتم آموزشی مشابه مدل پیشنهاد شده، برای پیش‌بینی کننده غیرخطی است. در سومین مدل پیش‌بینی مورد بررسی، شبکه عصبی خطی را برای پیش‌بینی کننده خطی و شبکه عصبی بازگشتی NARX را برای پیش‌بینی کننده غیرخطی انتخاب کرده‌ایم. مقایسه نتایج برای این مدل‌ها و مدل پیشنهادی براساس سه معیار معرفی شده در جدول ۶-۲ قابل مشاهده است.
در نهایت ۵۰۰ نمونه داده از سری‌زمانی آشوبی مکی‌گلاس با نتایج گزارش شده در ادبیات مقایسه شده و در جدول ۶-۳ ارائه شده‌است. آزمایشات انجام شده برای سری‌زمانی مکی‌گلاس، تایید می‌کند که کارایی روش پیشنهاد شده قابل قیاس با روش‌های ارائه شده در پژوهش‌ها بوده و توانسته به طور مؤثری پیش‌بینی سری‌زمانی آشوبی مکی‌گلاس را انجام دهد.
جدول۶-۱. خطای پیش‌بینی کننده‌ها به ازای داده تست از سری‌زمانی آشوبی مکی‌گلاس

پیش‌بینی کننده

معیار خطا

MSE

RMSE

NRMSE

پیش‌بینی کننده خطی

۷.۸۴e-6

۲.۸e-3

۴.۳e-3

پیش‌بینی کننده غیرخطی

۳.۲۹e-6

۱.۸e-3

۴.۳۳۶۰