1. I) اول این که حامل‌ها به منطقه rداخل و وارد می‌شوند. حال فرض می‌کنیم vkسرعت حامل در حالت k است پس حامل‌ها در یک زمان t فاصله‌ای به اندازه tvk جابجا می‌شوند. حال با در نظر گرفتن قضیه لیوویل[۵۴] تعداد حامل‌ها در همسایگی r در زمان t مساوی است با تعداد آن‌ها در همسایگی r=tvk در زمان صفر یعنی fk(r,t)=fk(r-tvk,0) و این یعنی نرخ تغییر توزیع ناشی از انتشار[۵۵] به‌صورت معادله ‏۳‑۱ است:

 

‏۳‑۱

 

    1. II) دوم این که میدان خارجی تکانه هر ذره را عوض می‌کند ما نرخ تغییر بردار را به‌صورت معادله ‏۳‑۲ می­نویسیم(در دستگاه CGS):

 

‏۳‑۲
این رابطه را می‌توان به‌عنوان سرعت حامل در فضای k در نظر گرفت. پس می‌توان برای تغییر سرعت حامل­ها در زمان t نسبت به زمان اولیه از طریق میدان خارجی نوشت و نرخ آن به‌صورت معادله ‏۳‑۳ است:
دانلود پایان نامه - مقاله - پروژه
‏۳‑۳
III) سومین اثر پراکندگی بارها است که اثری نسبتا پیچیده است. می‌توان رابطه ‏۳‑۴ را برای این اثر نوشت:
‏۳‑۴
فرایند پراکندگی از k به k’ میزان fk را کاهش می‌دهد و احتمال وقوع این فرایند به دو عامل fk یعنی تعداد حامل‌ها در حالت k و به (۱- fk’) یعنی تعداد جاهای خالی در حالت نهایی k’ بستگی دارد. همچنین یک فرایند معکوس وجود دارد که میزان fk را افزایش دهد که حامل‌ها از محل k’ به k حرکت کنند. حال اگر روی همه حالت‌های ممکن k’ جمع بزنیم و در Q(k,k’) ,که فاکتور احتمال انتقال از نقطه k به نقطه k’ است، ضرب کنیم، نرخ‌گذار را بدست آورده‌ایم. توجه شود که قضیه برگشت‌پذیری میکروسکپی[۵۶] بیان می‌کند که، یک تابع یکسان نرخ‌گذار از k’ به k را بیان می‌کند. حال معادله بولتزمن بیان می‌کند در هر نقطه و برای هر k تغییرات نرخ برای fk® صفر است:
‏۳‑۵
توجه شود معادله ‏۳‑۵ در شرایط تعادل پایدار[۵۷] و نه در شرایط تعادل[۵۸] نوشته شده است.
ما برای رسیدن به هدف یعنی محاسبه µe و µh به جای حل کامل معادله انتقال بولتزمن از روش معادله بالانس[۵۹][۳۸] استفاده می‌کنیم. معادله بالانس بر پایه معادله انتقال بولتزمن است. ما از معادله بالانس به این صورت استفاده می‌کنیم که، جمله پراکندگی معادله بولتزمن را می‌نویسیم و با در نظر گرفتن فرآیندهای مختلف پراکندگی معادله را در شرایط تعادل پایدار می‌نویسیم. معادله دوم هم از طریق نوشتن چگالی الکترونی بر واحد سطح برای کل الکترون‌ها نوشته شده و از حل این دو معادله µe و µh را بدست می‌آوریم. توضیحات بیشتر در مورد معادله بالانس و حل آن را در فصل چهارم خواهیم آورد.
فصل چهارم
فصل چهارم: بررسی جمعیت وارون در گرافن
بررسی جمعیت وارون در گرافن
مقدمه
در این فصل ابتدا رسانندگی گرافن را بدست می‌آوریم. بعد رابطه رسانندگی و تقویت نوری را بیان خواهیم کرد. سپس جمعیت معکوس در گرافن را بررسی می‌کنیم که این کار از دو روش که یکی بر اساس پدیده شناختی است و دیگری بر اساس معادله انتقال بولتزمن انجام می­ شود.
محاسبه رسانندگی الکتریکی گرافن
جذب نوری در گرافن به دو صورت انتقال بین نواری و داخل نواری است و این دو انتقال بستگی به طول موج تابیده شده به گرافن است. در مادون قرمز دور پاسخ نوری گرافن غالبا داخل نواری و در ناحیه مادون قرمز میانی و نزدیک پاسخ نوری بین نواری است. در بررسی این رساله طول موج­های استفاده شده در مادون قرمز نزدیک است. بررسی رسانندگی گرافن در مقالات متعددی[۳۹-۴۴] صورت گرفته است. برای محاسبه رسانندگی الکتریکی گرافن از روش کوبو استفاده شده است.
برای محاسبه ابتدا هامیلتونی گرافن را در مدل تنگ بست به‌صورت معادله ‏۴‑۱ می‌نویسیم[۴۳]:
‏۴‑۱
در این جا تقریب نزدیکترین همسایه به کار رفته است و در آن یک الکترون در زیر شبکه A تولید می کند و یک الکترون در زیر شبکه B تولید می کند. t پارامتر جهش[۶۰] می­باشد که مقدار آن حدود ۳ ev است. بردار های در شکل‏۴‑۱ نشان داده شده اند.
شکل‏۴‑۱ گوشه ای از شبکه کلی گرافن
مقدار پارامترها بصورت و و می­باشند. در مدل تنگ بست پارامتر جهش در حضور میدان بصورت تغییر می­ کند[۴۵]. پارامتر جهش در حضور میدان را به صورت زیر بسط می دهیم:
‏۴‑۲
حال اگر فرض کنیم جهت قطبش میدان در جهت x است عملگر چگالی جریان بصورت است[۴۵]. با فرض قطبش در جهت x میدان و محاسبه چگالی جریان، جواب به صورت داریم که پارامتر های و به صورت زیر است:
‏۴‑۳
‏۴‑۴
در رابطه بالا جمله جریان پارامگنتیک می‌باشد که ناشی از تغییر شکل تابع موج در اثر میدان خارجی می‌باشد و جمله جریان دیامگنتیک نام دارد[۴۶]. همان طور که می‌دانیم رابطه چگالی جریان و میدان الکتریکی به صورت است. می­توان E را بر حسب پتانسیل برداری به صورت نوشت. در اینجا فرض می­ شود که میدان، قطبشی در جهت x دارد. تانسور رسانندگی است. هدف اصلی در این بخش محاسبه تانسور رسانندگی گرافن است که این تانسور شامل مولفه های طولی و عرضی است. در اینجا مولفه­ی طولی یعنی را با رابطه کوبو محاسبه می­کنیم[۴۳]:
‏۴‑۵
که مساحت کل گرافن با رابطه است به ‌طوری که جمله مساحت یک سلول واحد در گرافن و تعداد این سلول‌های واحد است. علت اضافه کردن این جمله در مخرج این است که افت و خیزهای اتمی را حذف کنیم[۴۷]. معادله بالا رابطه کوبو برای رسانندگی الکتریکی است که برای استفاده از فرمالیسم ماتسوبرا[۶۱] تغییر انجام شده است[۴۷]. از طریق تابع همبستگی جریان-جریان ماتسوبرا به صورت معادله ‏۴‑۶ محاسبه می‌شود[۶۲][۴۳]:
‏۴‑۶
در آن عملگر ترتیب زمانی [۶۳]و است. فرمالیسم به کار رفته یکی از روش­های محاسبه تابع کوبو برای رسانندگی الکتریکی است که در کتاب فیزیک بس ذره‌ای توسط ماهان[۶۴]به کار رفته است[۶۵][۴۷]. رسانندگی الکتریکی کلی به دو بخش حقیقی و موهومی تقسیم می‌کنیم که هر جمله آن به‌صورت ‏۴‑۷ و ‏۴‑۸ است[۴۳]:
‏۴‑۷
‏۴‑۸
حال برای محاسبه رسانندگی توجه می‌کنیم که تولید جمعیت وارون در لیزر در ناحیه فرکانسی مادون قرمز نزدیک یک فرایند بین نواری است. D فاکتور درود است که در قسمت حقیقی رسانندگی ذکر شده و مستقیما متناسب با رسانندگی داخل نواری است[۴۸]. در بازه فرکانسی ذکر شده امکان وقوع انتقال مستقیم داخل نواری در گرافن بسیار پایین است. پس برای محاسبه قسمت حقیقی رسانندگی بین نواری ابتدا فاکتور را در معادله ‏۴‑۹ معرفی می‌کنیم[۴۳]:
‏۴‑۹
که تابع توزیع فرمی و پتانسیل شیمیایی است. به‌صورت ‏۴‑۱۰ معرفی می‌شود[۴۳]:
‏۴‑۱۰
و به‌صورت ‏۴‑۱۱ است:
‏۴‑۱۱
جمله آخر معادله ‏۴‑۱۰ را اگر در معادله ‏۴‑۹ قرار دهیم و تقریب محاسبه نزدیک نقطه دیراک را بکار ببریم جمله کوچکی است و از آن صرف نظر می‌کنیم. تابع چگالی حالات در هر حالت اسپینی و در هر سلول واحد را به‌صورت ‏۴‑۱۲ می‌نویسیم[۴۳]:
‏۴‑۱۲
برای ادامه محاسبات به دو مورد از ویژگی‌های تابع دلتای دیراک در ‏۴‑۱۳ اشاره می‌کنیم:
‏۴‑۱۳
که البته ویژگی دوم از ویژگی اول واضح است یعنی اگر در دومی یک منفی فاکتور بگیریم طبق اولی قدر مطلق آن پشت عبارت ظاهر می­شد. برای محاسبه رسانندگی تمام فرضیات بالا را در نظر می‌گیریم بعلاوه این که رابطه پاشندگی در گرافن به‌صورت است که در آن مثبت اشاره به نوار رسانش و منفی اشاره به نوار ظرفیت دارد. رسانندگی به صورت ‏۴‑۱۴ بدست می‌آید:

موضوعات: بدون موضوع  لینک ثابت


فرم در حال بارگذاری ...